Задача №1386
Условие
Найти интеграл \(\int\sin^4{x}dx\).
Решение
\[
\int\sin^4{x}dx
=\int\left(\sin^2x\right)^2dx
=\int\left(\frac{1-\cos{2x}}{2}\right)^2dx
=\frac{1}{4}\int\left(1-2\cos{2x}+\cos^2{2x}\right)dx=\\
=\frac{1}{4}\int\left(1-2\cos{2x}+\frac{1}{2}+\frac{\cos{4x}}{2}\right)dx
=\frac{1}{4}\int\left(\frac{3}{2}-2\cos{2x}+\frac{\cos{4x}}{2}\right)dx
=\frac{3x}{8}-\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{\sin{4x}}{32}+C
\]
Ответ:
\(\frac{3x}{8}-\frac{\sin{2x}}{4}+\frac{\sin{4x}}{32}+C\)