1827-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1827 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\tg^4{x}dx[/math].

Решение

[math] \int\tg^4{x}dx =\int\frac{\sin^4x}{\cos^4x}dx =\int\frac{\left(1-\cos^2x\right)^2}{\cos^4x}dx=\\ =\int\frac{1-2\cos^2x+\cos^4x}{\cos^4x}dx =\int\left(\frac{1}{\cos^4x}-2\cdot\frac{1}{\cos^2x}+1\right)dx=\\ =\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-2\right)\cdot\frac{dx}{\cos^2x}+\int{dx} =\int\left(\tg^2{x}-1\right)d(\tg{x})+\int{dx} =\frac{\tg^3x}{3}-\tg{x}+x+C [/math]

Ответ

[math]\frac{\tg^3x}{3}-\tg{x}+x+C[/math]