Задача №1381
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sin^3{x}}{\sqrt{\cos{x}}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{\sin^3{x}}{\sqrt{\cos{x}}}dx
=\int\frac{\sin^2{x}\cdot\sin{x}}{\sqrt{\cos{x}}}dx
=\int\frac{\cos^2{x}-1}{\sqrt{\cos{x}}}d(\cos{x})=\\
=\int\left((\cos{x})^{3/2}-(\cos{x})^{-1/2}\right)d(\cos{x})
=\frac{2\cos^2{x}\sqrt{\cos{x}}}{5}-2\sqrt{\cos{x}}+C
=2\sqrt{\cos{x}}\cdot\left(\frac{\cos^2{x}}{5}-1\right)+C
\]
Ответ:
\(2\sqrt{\cos{x}}\cdot\left(\frac{\cos^2{x}}{5}-1\right)+C\)