Задача №1379
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sin^2x}{\cos{x}}dx\).
Решение
Разложив \(\sin^2{x}\) в числителе, будем иметь:
\[
\int\frac{\sin^2{x}}{\cos{x}}dx
=\int\frac{1-\cos^2{x}}{\cos{x}}dx
=\int\frac{dx}{\cos{x}}-\int\cos{x}dx
=\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|-\sin{x}+C
\]
Отмечу, что судя по ответу, в задачнике имеется ошибка в условии. Истинное условие, по идее, должно быть таким: \(\int\frac{\sin^3{x}}{\cos{x}}dx\). Рассматривая этот интеграл, получим:
\[
\int\frac{\sin^3{x}}{\cos{x}}dx
=\int\frac{\sin^2{x}\cdot\sin{x}}{\cos{x}}dx
=\int\frac{\left(\cos^2{x}-1\right)\,d(\cos{x})}{\cos{x}}dx=\\
=\int\left(\cos{x}-\frac{1}{\cos{x}}\right)d(\cos{x})
=\frac{\cos^2x}{2}-\ln|\cos{x}|+C
\]
Ответ:
\(\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|-\sin{x}+C\)