1822-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1822 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sin^2x}{\cos{x}}dx[/math].

Решение

Разложив [math]\sin^2{x}[/math] в числителе, будем иметь:

[dmath] \int\frac{\sin^2{x}}{\cos{x}}dx =\int\frac{1-\cos^2{x}}{\cos{x}}dx =\int\frac{dx}{\cos{x}}-\int\cos{x}dx =\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|-\sin{x}+C [/dmath]

Отмечу, что судя по ответу, в задачнике имеется ошибка в условии. Истинное условие, по идее, должно быть таким: [math]\int\frac{\sin^3{x}}{\cos{x}}dx[/math]. Рассматривая этот интеграл, получим:

[dmath] \int\frac{\sin^3{x}}{\cos{x}}dx =\int\frac{\sin^2{x}\cdot\sin{x}}{\cos{x}}dx =\int\frac{\left(\cos^2{x}-1\right)\,d(\cos{x})}{\cos{x}}dx=\\ =\int\left(\cos{x}-\frac{1}{\cos{x}}\right)d(\cos{x}) =\frac{\cos^2x}{2}-\ln|\cos{x}|+C [/dmath]

Ответ

[math]\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|-\sin{x}+C[/math]