1821-1

Информация о задаче

Задача №1821 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{1-\sin{x}}{\cos{x}}dx[/math].

Решение

Способ, очевидный при первом взгляде на пример:

[math] \int\frac{1-\sin{x}}{\cos{x}}dx =\int\frac{dx}{\cos{x}}-\int\frac{\sin{x}dx}{\cos{x}} =\int\frac{dx}{\cos{x}}+\int\frac{d(\cos{x})}{\cos{x}} =\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+\ln|\cos{x}|+C [/math]

Способ, менее очевидный, но приводящий к более простому ответу:

[math] \int\frac{1-\sin{x}}{\cos{x}}dx =\int\frac{(1-\sin{x})\cos{x}}{\cos^2{x}}dx =\int\frac{(1-\sin{x})\cos{x}}{1-\sin^2{x}}dx=\\ =\int\frac{(1-\sin{x})\cos{x}}{(1-\sin{x})(1+\sin{x})}dx =\int\frac{\cos{x}}{1+\sin{x}}dx =\int\frac{d(1+\sin{x})}{1+\sin{x}} =\ln(1+\sin{x})+C [/math]

Интегралы с тригонометрией, как, впрочем, и многие иные неопределённые интегралы, можно находить несколькими путями. Разумеется, ответ, полученный первым способом, не совпадает с ответом, размещённым в сборнике задач. Однако это вовсе не означает, что ответ, полученный первым способом, неверный. Оба ответа верны.

Ответ

[math]\ln(1+\sin{x})+C[/math]