1820-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1820 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\cos{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{\cos{x}}dx =\int\frac{\cos{x}dx}{\cos^2{x}}dx =-\int\frac{d(\sin{x})}{\sin^2{x}-1}dx =-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sin{x}-1}{\sin{x}+1}\right|+C =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sin{x}+1}{\sin{x}-1}\right|+C=\\ =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{1+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\right|+C =\frac{1}{2}\ln\left|\tg^2\frac{x+\frac{\pi}{2}}{2}\right|+C =\frac{1}{2}\ln\left|\tg^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C =\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C [/math]

Ответ

[math]\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C[/math]