1819-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1819 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}dx[/math].

Решение

[math] \cos{x}\cos{2x}\cos{3x} =\frac{1}{2}(\cos{x}+\cos{3x})\cdot\cos{3x} =\frac{1}{2}\cdot\left(\cos{x}\cos{2x}+\cos^2{3x}\right)=\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(\cos{2x}+\cos{4x}\right)+\frac{1+\cos{6x}}{2}\right) =\frac{1}{4}\cdot\left(\cos{6x}+\cos{4x}+\cos{2x}+1\right) [/math]

[math] \int\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}dx =\frac{1}{4}\int\left(\cos{6x}+\cos{4x}+\cos{2x}+1\right)dx=\\ =\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{\sin{6x}}{6}+\frac{\sin{4x}}{4}+\frac{\sin{2x}}{2}+x\right)+C =\frac{\sin{6x}}{24}+\frac{\sin{4x}}{16}+\frac{\sin{2x}}{8}+\frac{x}{4}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{\sin{6x}}{24}+\frac{\sin{4x}}{16}+\frac{\sin{2x}}{8}+\frac{x}{4}+C[/math]