Задача №1376
Условие
Найти интеграл \(\int\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}dx\).
Решение
\[
\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}
=\frac{1}{2}(\cos{x}+\cos{3x})\cdot\cos{3x}
=\frac{1}{2}\cdot\left(\cos{x}\cos{2x}+\cos^2{3x}\right)=\\
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(\cos{2x}+\cos{4x}\right)+\frac{1+\cos{6x}}{2}\right)
=\frac{1}{4}\cdot\left(\cos{6x}+\cos{4x}+\cos{2x}+1\right)
\]
\[
\int\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}dx
=\frac{1}{4}\int\left(\cos{6x}+\cos{4x}+\cos{2x}+1\right)dx=\\
=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{\sin{6x}}{6}+\frac{\sin{4x}}{4}+\frac{\sin{2x}}{2}+x\right)+C
=\frac{\sin{6x}}{24}+\frac{\sin{4x}}{16}+\frac{\sin{2x}}{8}+\frac{x}{4}+C
\]
Ответ:
\(\frac{\sin{6x}}{24}+\frac{\sin{4x}}{16}+\frac{\sin{2x}}{8}+\frac{x}{4}+C\)