Задача №1370
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}dx
=\int\frac{1-\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{1+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}d\left(x+\frac{\pi}{2}\right)
=\left|u=x+\frac{\pi}{2}\right|
=\int\frac{1-\cos{u}}{1+\cos{u}}du
\]
Этот интеграл был разобран в 1369, поэтому воспользуемся готовым результатом:
\[
\int\frac{1-\cos{u}}{1+\cos{u}}du
=2\tg\frac{u}{2}-u+C
=2\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-x+C
\]
Ответ:
\(2\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-x+C\)