1813-1

Информация о задаче

Задача №1813 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}dx =\int\frac{1-\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{1+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}d\left(x+\frac{\pi}{2}\right) =\left|u=x+\frac{\pi}{2}\right| =\int\frac{1-\cos{u}}{1+\cos{u}}du [/math]

Этот интеграл был разобран в 1812-1, поэтому воспользуемся готовым результатом:

[math] \int\frac{1-\cos{u}}{1+\cos{u}}du =2\tg\frac{u}{2}-u+C =2\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-x+C [/math]

Ответ

[math]2\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-x+C[/math]