Задача №1369
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}dx
=\int\tg^2\frac{x}{2}dx
=\int\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}dx
=\int\frac{1-\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}dx
=\int\left(\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}-1\right)dx
=2\tg\frac{x}{2}-x+C
\]
Отмечу, что как и большинство примеров данного подраздела, этот пример можно решить иным способом. Домножая на \(1-\cos{x}\) числитель и знаменатель дроби, будем иметь:
\[
\int\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}dx
=\int\frac{(1-\cos{x})(1-\cos{x})}{(1+\cos{x})\cdot(1-\cos{x})}dx
=\int\frac{1-2\cos{x}+\cos^2x}{1-\cos^2x}dx=\\
=\int\frac{2-2\cos{x}-\sin^2x}{\sin^2x}dx
=\int\left(2\cdot\frac{1}{\sin^2x}-2\cdot\frac{\cos{x}}{\sin^2x}-1\right)dx
=-2\ctg{x}+\frac{2}{\sin{x}}-x+C
\]
Ответ:
\(2\tg\frac{x}{2}-x+C\)