1812-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1812 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}dx =\int\tg^2\frac{x}{2}dx =\int\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}dx =\int\frac{1-\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}dx =\int\left(\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}-1\right)dx =2\tg\frac{x}{2}-x+C [/math]

Отмечу, что как и большинство примеров данного подраздела, этот пример можно решить иным способом. Домножая на [math]1-\cos{x}[/math] числитель и знаменатель дроби, будем иметь:

[math] \int\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}dx =\int\frac{(1-\cos{x})(1-\cos{x})}{(1+\cos{x})\cdot(1-\cos{x})}dx =\int\frac{1-2\cos{x}+\cos^2x}{1-\cos^2x}dx=\\ =\int\frac{2-2\cos{x}-\sin^2x}{\sin^2x}dx =\int\left(2\cdot\frac{1}{\sin^2x}-2\cdot\frac{\cos{x}}{\sin^2x}-1\right)dx =-2\ctg{x}+\frac{2}{\sin{x}}-x+C [/math]

Ответ

[math]2\tg\frac{x}{2}-x+C[/math]