1811-1

Информация о задаче

Задача №1811 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{1-\sin{x}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{1-\sin{x}} =\int\frac{dx}{1+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)} =\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)} =\int\frac{d\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)} =\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+C [/math]

Ответ

[math]\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+C[/math]