1794-1

Информация о задаче

Задача №1794 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{(a-x)(b-x)}[/math].

Решение

Если [math]a=b[/math], то получим:

[math] \int\frac{dx}{(a-x)(b-x)} =\int\frac{dx}{(x-a)(x-a)} =\int(x-a)^{-2}d(x-a) =-\frac{1}{x-a}+C [/math]

Если [math]a\neq{b}[/math], то:

[math] \int\frac{dx}{(a-x)(b-x)} =\int\frac{dx}{(x-a)(x-b)} =\int\frac{dx}{x^2-(a+b)x+ab}=\\ =\int\frac{dx}{x^2-(a+b)x+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+ab-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2} =\int\frac{dx}{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+ab-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}}=\\ =\int\frac{d\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2} =\frac{1}{2\cdot\frac{a-b}{2}}\ln\left|\frac{x-\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}}{x-\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}}\right|+C =\frac{1}{a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right|+C [/math]

Ответ

• Если [math]a=b[/math], то [math]\int\frac{dx}{(a-x)(b-x)}=-\frac{1}{x-a}+C[/math].
• Если [math]a\neq{b}[/math], то [math]\int\frac{dx}{(a-x)(b-x)}=\frac{1}{a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right|+C[/math].