Задача №1349
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{x(x+1)}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{x(x+1)}
=\int\frac{dx}{x^2+x}
=\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}=\\
=\int\frac{d\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}
=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}\cdot\ln\left|\frac{x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\right|+C
=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C
\]
Ответ:
\(\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C\)