Задача №1346
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^4}{1-x}dx\).
Решение
С помощью схемы Горнера или деления многочленов "в столбик" получаем такой результат:
\[
x^4=(-x+1)\left(-x^3-x^2-x-1\right)+1
\]
\[
\int\frac{x^4}{1-x}dx
=\int\frac{(1-x)\left(-x^3-x^2-x-1\right)+1}{1-x}dx=\\
=\int\left(-x^3-x^2-x-1-\frac{1}{x-1}\right)dx
=-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x-\ln|x-1|+C
\]
Ответ:
\(-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x-\ln|x-1|+C\)