Задача №1340
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{Ax}{a+bx}dx\).
Решение
Если \(a=b=0\), то задача не имеет решений. Если \(a\neq{0}\) и \(b=0\), то:
\[
\int\frac{Ax}{a+bx}dx
=\frac{A}{a}\int{x}dx
=\frac{Ax^2}{2a}+C
\]
Если \(b\neq{0}\), то:
\[
\int\frac{Ax}{a+bx}dx
=\frac{A}{b}\int\frac{bx}{a+bx}dx
=\frac{A}{b}\int\frac{a+bx-a}{a+bx}dx=\\
=\frac{A}{b}\int\left(\frac{a+bx}{a+bx}-\frac{a}{a+bx}\right)dx
=\frac{A}{b}\int{dx}-\frac{aA}{b^2}\int\frac{d(a+bx)}{a+bx}
=\frac{Ax}{b}-\frac{aA}{b^2}\cdot\ln|a+bx|+C
\]
Ответ:
- Если \(a=b=0\), то задача не имеет решений.
- Если \(a\neq{0}\) и \(b=0\), то \(\int\frac{Ax}{a+bx}dx=\frac{Ax^2}{2a}+C\).
- Если \(b\neq{0}\), то \(\int\frac{Ax}{a+bx}dx=\frac{Ax}{b}-\frac{aA}{b^2}\cdot\ln|a+bx|+C\).