1783-1

Информация о задаче

Задача №1783 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{Ax}{a+bx}dx[/math].

Решение

Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решений. Если [math]a\neq{0}[/math] и [math]b=0[/math], то:

[math] \int\frac{Ax}{a+bx}dx =\frac{A}{a}\int{x}dx =\frac{Ax^2}{2a}+C [/math]

Если [math]b\neq{0}[/math], то:

[math] \int\frac{Ax}{a+bx}dx =\frac{A}{b}\int\frac{bx}{a+bx}dx =\frac{A}{b}\int\frac{a+bx-a}{a+bx}dx =\frac{A}{b}\int\left(\frac{a+bx}{a+bx}-\frac{a}{a+bx}\right)dx=\\ =\frac{A}{b}\int{dx}-\frac{aA}{b^2}\int\frac{d(a+bx)}{a+bx} =\frac{Ax}{b}-\frac{aA}{b^2}\cdot\ln|a+bx|+C [/math]

Ответ

• Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решений.
• Если [math]a\neq{0}[/math] и [math]b=0[/math], то [math]\int\frac{Ax}{a+bx}dx=\frac{Ax^2}{2a}+C[/math].
• Если [math]b\neq{0}[/math], то [math]\int\frac{Ax}{a+bx}dx=\frac{Ax}{b}-\frac{aA}{b^2}\cdot\ln|a+bx|+C[/math].