1783-1
Реклама
Материал из Решебника
Информация о задаче
Задача №1783 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{Ax}{a+bx}dx[/math].
Решение
Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решений. Если [math]a\neq{0}[/math] и [math]b=0[/math], то:
[dmath] \int\frac{Ax}{a+bx}dx =\frac{A}{a}\int{x}dx =\frac{Ax^2}{2a}+C [/dmath]
Если [math]b\neq{0}[/math], то:
[dmath] \int\frac{Ax}{a+bx}dx =\frac{A}{b}\int\frac{bx}{a+bx}dx =\frac{A}{b}\int\frac{a+bx-a}{a+bx}dx=\\ =\frac{A}{b}\int\left(\frac{a+bx}{a+bx}-\frac{a}{a+bx}\right)dx =\frac{A}{b}\int{dx}-\frac{aA}{b^2}\int\frac{d(a+bx)}{a+bx} =\frac{Ax}{b}-\frac{aA}{b^2}\cdot\ln|a+bx|+C [/dmath]
Ответ
- Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решений.
- Если [math]a\neq{0}[/math] и [math]b=0[/math], то [math]\int\frac{Ax}{a+bx}dx=\frac{Ax^2}{2a}+C[/math].
- Если [math]b\neq{0}[/math], то [math]\int\frac{Ax}{a+bx}dx=\frac{Ax}{b}-\frac{aA}{b^2}\cdot\ln|a+bx|+C[/math].
Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).