Задача №1337
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x+(\arccos{3x})^2}{\sqrt{1-9x^2}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{x+(\arccos{3x})^2}{\sqrt{1-9x^2}}dx
=\int\frac{xdx}{\sqrt{1-9x^2}}+\int\frac{(\arccos{3x})^2dx}{\sqrt{1-9x^2}}=\\
=-\frac{1}{18}\int\left(1-9x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-9x^2\right)-\frac{1}{3}\int(\arccos{3x})^2d(\arccos3x)=\\
=-\frac{1}{18}\frac{\left(1-9x^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\cdot\frac{(\arccos{3x})^3}{3}+C
=-\frac{\sqrt{1-9x^2}}{9}-\frac{(\arccos{3x})^3}{9}+C
\]
Ответ:
\(-\frac{\sqrt{1-9x^2}}{9}-\frac{(\arccos{3x})^3}{9}+C\)