Задача №1336
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{2x-\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{2x-\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}}dx
=\int\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int \frac{\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\
=-\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right)-\int(\arcsin{x})^{\frac{1}{2}}d(\arcsin x)=\\
=-\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}-\frac{(\arcsin{x})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C
=-2\sqrt{1-x^2}-\frac{2\sqrt{\arcsin^3x}}{3}+C.
\]
Ответ:
\(-2\sqrt{1-x^2}-\frac{2\sqrt{\arcsin^3x}}{3}+C\)