1778-1
Информация о задаче
Задача №1778 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}[/math].
Решение
[dmath] \int\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2} =\int\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2} =\int\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2dx}{\left(\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\cdot\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\right)^2}=\\ =\int\frac{x^2-2x\sqrt{x^2-1}+x^2-1}{\left(x^2-\left(x^2-1\right)\right)^2}dx =\int\left(2x^2-2x\sqrt{x^2-1}-1\right)dx=\\ =2\int{x^2}dx-\int\left(x^2-1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(x^2-1\right)-\int{dx} =\frac{2x^3}{3}-\frac{2\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}{3}-x+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{2x^3}{3}-\frac{2\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}{3}-x+C[/math]
