Задача №1334
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{1+x-x^2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{1+x-x^2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}dx
=\int\frac{1-x^2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}dx+\int\frac{xdx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\\
=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{3}{2}}d\left(1-x^2\right)
=\arcsin{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+C
=\arcsin{x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+C
\]
Ответ:
\(\arcsin{x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+C\)