Задача №1333
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x\left(1-x^2\right)}{1+x^4}dx\).
Решение
\[
\int\frac{x\left(1-x^2\right)}{1+x^4}dx
=\int\frac{x-x^3}{1+x^4}dx
=\int\frac{xdx}{1+x^4}-\int\frac{x^3dx}{1+x^4}=\\
=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2\right)}{1+\left(x^2\right)^2}-\frac{1}{4}\int\frac{d\left(1+x^4\right)}{1+x^4}
=\frac{\arctg{x^2}}{2}-\frac{\ln\left(1+x^4\right)}{4}+C
\]
Ответ:
\(\frac{\arctg{x^2}}{2}-\frac{\ln\left(1+x^4\right)}{4}+C\)