Задача №1332
Условие
Найти интеграл \(\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx\).
Решение
\[
\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx
=\int\sqrt{\frac{(1-x)^2}{(1+x)(1-x)}}dx
=\int\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}dx
=\int\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx=\\
=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right)
=\arcsin{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C
=\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C
\]
Ответ:
\(\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C\)