1770-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1770 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}[/math].

Решение

Если [math]a=0[/math], то:

[math] \int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x} =\int\frac{\cos{x}dx}{\sin^2x} =\biggl|d(\sin{x})=\cos{x}dx\biggr| =\int\left(\sin{x}\right)^{-2}d(\sin{x}) =\frac{(\sin{x})^{-1}}{-1}+C =-\frac{1}{\sin{x}}+C [/math]

Если [math]a\neq{0}[/math], то:

[math] \int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x} =\biggl|d(\sin{x})=\cos{x}dx\biggr| =\int\frac{d(\sin{x})}{a^2+\sin^2x} =\frac{1}{a}\arctg\frac{\sin{x}}{a}+C [/math]

Ответ

  • Если [math]a=0[/math], то [math]\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}=-\frac{1}{\sin{x}}+C[/math].
  • Если [math]a\neq{0}[/math], то [math]\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}=\frac{1}{a}\arctg\frac{\sin{x}}{a}+C[/math]