Задача №1327
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}\).
Решение
Если \(a=0\), то:
\[
\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}
=\int\frac{\cos{x}dx}{\sin^2x}
=\biggl|d(\sin{x})=\cos{x}dx\biggr|
=\int\left(\sin{x}\right)^{-2}d(\sin{x})
=\frac{(\sin{x})^{-1}}{-1}+C
=-\frac{1}{\sin{x}}+C
\]
Если \(a\neq{0}\), то:
\[
\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}
=\biggl|d(\sin{x})=\cos{x}dx\biggr|
=\int\frac{d(\sin{x})}{a^2+\sin^2x}
=\frac{1}{a}\arctg\frac{\sin{x}}{a}+C
\]
Ответ:
- Если \(a=0\), то \(\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}=-\frac{1}{\sin{x}}+C\).
- Если \(a\neq{0}\), то \(\int\frac{\cos{x}dx}{a^2+\sin^2x}=\frac{1}{a}\arctg\frac{\sin{x}}{a}+C\).