Задача №1307
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx\).
Решение
Если \(m=-1\), то:
\[
\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx
\int\frac{dx}{x\ln{x}}dx
=\left[d(\ln{x})=\frac{dx}{x}\right]
=\int\frac{d(\ln{x})}{\ln{x}}
=\ln|\ln{x}|+C
\]
Если \(m\neq{-1}\), то:
\[
\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx
=\left[d(\ln{x})=\frac{dx}{x}\right]
=\int(\ln{x})^md(\ln{x})
=\frac{(\ln{x})^{m+1}}{m+1}+C
\]
Ответ:
- Если \(m=-1\), то \(\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx=\ln|\ln{x}|+C\).
- Если \(m\neq{-1}\), то \(\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx=\frac{(\ln{x})^{m+1}}{m+1}+C\).