1750-1

Информация о задаче

Задача №1750 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx[/math].

Решение

Если [math]m=-1[/math], то:

[math] \int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx \int\frac{dx}{x\ln{x}}dx =\left|d(\ln{x})=\frac{dx}{x}\right| =\int\frac{d(\ln{x})}{\ln{x}} =\ln|\ln{x}|+C [/math]

Если [math]m\neq{-1}[/math], то:

[math] \int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx =\left|d(\ln{x})=\frac{dx}{x}\right| =\int(\ln{x})^md(\ln{x}) =\frac{(\ln{x})^{m+1}}{m+1}+C [/math]

Ответ

• Если [math]m=-1[/math], то [math]\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx=\ln|\ln{x}|+C[/math].
• Если [math]m\neq{-1}[/math], то [math]\int\frac{(\ln{x})^m}{x}dx=\frac{(\ln{x})^{m+1}}{m+1}+C[/math].