Задача №1300
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{e^{2x}dx}{e^{2x}+a^2}\).
Решение
\[
\int\frac{e^{2x}dx}{e^{2x}+a^2}
=\left[\begin{aligned}& d\left(e^{2x}+a^2\right)=2e^{2x}dx;\\& e^{2x}dx=\frac{1}{2}d\left(e^{2x}+a^2\right).\end{aligned}\right]
=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(e^{2x}+a^2\right)}{e^{2x}+a^2}
=\frac{1}{2}\cdot\ln\left(e^{2x}+a^2\right)+C
=\frac{\ln\left(e^{2x}+a^2\right)}{2}+C
\]
Ответ:
\(\frac{\ln\left(e^{2x}+a^2\right)}{2}+C\)