1717-1

Информация о задаче

Задача №1717 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3dx}{\sqrt[3]{x^4+1}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{x^3dx}{\sqrt[3]{x^4+1}} =\left|\begin{aligned}&d\left(x^4+1\right)=4x^3dx;\\&x^3dx=\frac{1}{4}d\left(x^4+1\right).\end{aligned}\right| =\frac{1}{4}\int\left(x^4+1\right)^{-\frac{1}{3}}d\left(x^4+1\right)=\\ =\frac{1}{4}\cdot\frac{\left(x^4+1\right)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}+C =\frac{3\sqrt[3]{\left(x^4+1\right)^2}}{8}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{3\sqrt[3]{\left(x^4+1\right)^2}}{8}+C[/math]