1713-1

Информация о задаче

Задача №1713 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x}\sqrt{1-x^2}dx[/math].

Решение

[math] \int{x}\sqrt{1-x^2}dx =\left|\begin{aligned}&d\left(1-x^2\right)=-2xdx;\\&xdx=-\frac{1}{2}d\left(1-x^2\right).\end{aligned}\right| =-\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right)=\\ =-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C =-\frac{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}{3}+C [/math]

Ответ

[math]-\frac{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}{3}+C[/math]