Задача №1268
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx\).
Решение
Если \(a=b=0\), то задача не имеет решения. Если \(b=0\), \(a\neq{0}\), то:
\[
\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx
=\int\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}dx
=\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}\int{dx}
=\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}x+C
\]
Если \(b\neq{0}\), то:
\[
\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx
=\left[\begin{aligned}&d(a+bx)=bdx;\\&dx=\frac{1}{b}d(a+bx).\end{aligned}\right]
=\frac{m}{b}\cdot\int\frac{d(a+bx)}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}=\\
=\frac{m}{b}\cdot\int(a+bx)^{-\frac{2}{3}}d(a+bx)
=\frac{m}{b}\cdot\frac{(a+bx)^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C
=\frac{3m\sqrt[3]{a+bx}}{b}+C
\]
Ответ:
- Если \(a=b=0\), то задача не имеет решения;
- Если \(b=0\), \(a\neq{0}\), то \(\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx=\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}x+C\);
- Если \(b\neq{0}\), то \(\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx=\frac{3m\sqrt[3]{a+bx}}{b}+C\).