1711-1
Информация о задаче
Задача №1711 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx[/math].
Решение
Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решения. Если [math]b=0[/math], [math]a\neq{0}[/math], то:
[dmath] \int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx =\int\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}dx =\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}\int{dx} =\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}x+C [/dmath]
Если [math]b\neq{0}[/math], то:
[dmath] \int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx =\left[\begin{aligned}&d(a+bx)=bdx;\\&dx=\frac{1}{b}d(a+bx).\end{aligned}\right] =\frac{m}{b}\cdot\int\frac{d(a+bx)}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}=\\ =\frac{m}{b}\cdot\int(a+bx)^{-\frac{2}{3}}d(a+bx) =\frac{m}{b}\cdot\frac{(a+bx)^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C =\frac{3m\sqrt[3]{a+bx}}{b}+C [/dmath]
Ответ
- Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решения;
- Если [math]b=0[/math], [math]a\neq{0}[/math], то [math]\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx=\frac{m}{\sqrt[3]{a^2}}x+C[/math];
- Если [math]b\neq{0}[/math], то [math]\int\frac{m}{\sqrt[3]{(a+bx)^2}}dx=\frac{3m\sqrt[3]{a+bx}}{b}+C[/math].
