1708-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1708 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{(a+bx)^c}[/math], [math]c\neq{1}[/math].

Решение

Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решения. Если [math]b=0[/math], [math]a\neq{0}[/math], то:

[math] \int\frac{dx}{(a+bx)^c} =\int\frac{dx}{a^c} =a^{-c}\int{dx} =a^{-c}x+C [/math]

Если [math]b\neq{0}[/math], то:

[math] \int\frac{dx}{(a+bx)^c} =\left|\begin{aligned}&d(a+bx)=(a+bx)'dx=bdx;\\&dx=\frac{1}{b}d(a+bx).\end{aligned}\right| =\frac{1}{b}\cdot\int\frac{d(a+bx)}{(a+bx)^c}=\\ =\frac{1}{b}\cdot\int(a+bx)^{-c}d(a+bx) =\frac{1}{b}\cdot\frac{(a+bx)^{-c+1}}{-c+1}+C =\frac{(a+bx)^{1-c}}{b(1-c)}+C [/math]

Ответ

  • Если [math]a=b=0[/math], то задача не имеет решения;
  • Если [math]b=0[/math], [math]a\neq{0}[/math], то [math]\int\frac{dx}{(a+bx)^c}=a^{-c}x+C[/math];
  • Если [math]b\neq{0}[/math], то [math]\int\frac{dx}{(a+bx)^c}=\frac{(a+bx)^{1-c}}{b(1-c)}+C[/math].