Задача №1265
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{(a+bx)^c}\), \(c\neq{1}\).
Решение
Если \(a=b=0\), то задача не имеет решения. Если \(b=0\), \(a\neq{0}\), то:
\[
\int\frac{dx}{(a+bx)^c}
=\int\frac{dx}{a^c}
=a^{-c}\int{dx}
=a^{-c}x+C
\]
Если \(b\neq{0}\), то:
\[
\int\frac{dx}{(a+bx)^c}
=\left[\begin{aligned}&d(a+bx)=(a+bx)'dx=bdx;\\&dx=\frac{1}{b}d(a+bx).\end{aligned}\right]
=\frac{1}{b}\cdot\int\frac{d(a+bx)}{(a+bx)^c}=\\
=\frac{1}{b}\cdot\int(a+bx)^{-c}d(a+bx)
=\frac{1}{b}\cdot\frac{(a+bx)^{-c+1}}{-c+1}+C
=\frac{(a+bx)^{1-c}}{b(1-c)}+C
\]
Ответ:
- Если \(a=b=0\), то задача не имеет решения;
- Если \(b=0\), \(a\neq{0}\), то \(\int\frac{dx}{(a+bx)^c}=a^{-c}x+C\);
- Если \(b\neq{0}\), то \(\int\frac{dx}{(a+bx)^c}=\frac{(a+bx)^{1-c}}{b(1-c)}+C\).