Задача №1257
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{(1+x)^2}{x\left(1+x^2\right)}dx\).
Решение
\[
\int\frac{(1+x)^2}{x\left(1+x^2\right)}dx
=\int\frac{1+2x+x^2}{x\left(1+x^2\right)}dx=\\
=\int\left(\frac{1+x^2}{x\left(1+x^2\right)}+\frac{2x}{x\left(1+x^2\right)}\right)dx
=\int\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{1+x^2}\right)dx
=\ln|x|+2\arctg{x}+C
\]
Ответ:
\(\ln|x|+2\arctg{x}+C\)