Задача №1256
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{1+2x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}dx\).
Решение
\[
\int\frac{1+2x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}dx
=\int\frac{1+x^2+x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}dx
=\int\left(\frac{1+x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}+\frac{x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}\right)dx=\\
=\int\left(x^{-2}+\frac{1}{1+x^2}\right)dx
=\frac{x^{-1}}{-1}+\arctg{x}+C
=-\frac{1}{x}+\arctg{x}+C
\]
Ответ:
\(-\frac{1}{x}+\arctg{x}+C\)