Задача №1246
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}dx
=\int\frac{1-2x+x^2}{x\sqrt{x}}dx
=\int\left(\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{2x}{x\sqrt{x}}+\frac{x^2}{x\sqrt{x}}\right)dx=\\
=\int\left(x^{-\frac{3}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}\right)dx
=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}-2\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C
=-\frac{2}{\sqrt{x}}-4\sqrt{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C
\]
Ответ:
\(-\frac{2}{\sqrt{x}}-4\sqrt{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C\)