1677-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1677 параграфа №1 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt[m]{x^n}dx[/math].

Решение

Чтобы не рассматривать частные случаи значений [math]m[/math] и [math]n[/math], будем искать первообразные в предположении [math]x\gt{0}[/math].

[math] \int\sqrt[m]{x^n}dx =\int{x^\frac{n}{m}}dx [/math]

Если [math]\frac{n}{m}=-1[/math], то:

[math] \int{x^\frac{n}{m}}dx =\int{x^{-1}}dx =\int\frac{dx}{x} =\ln|x|+C [/math]

Если [math]\frac{n}{m}\neq{-1}[/math], то:

[math] \int{x^\frac{n}{m}}dx =\frac{x^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}+C =\frac{x^{\frac{n+m}{m}}}{\frac{n+m}{m}}+C =\frac{m\cdot\sqrt[m]{x^{n+m}}}{n+m}+C [/math]

Ответ

Если [math]\frac{n}{m}=-1[/math], то [math]\int\sqrt[m]{x^n}dx=\ln|x|+C[/math]. Если [math]\frac{n}{m}\neq{-1}[/math], то [math]\int\sqrt[m]{x^n}dx=\frac{m\cdot\sqrt[m]{x^{n+m}}}{n+m}+C[/math].