1629-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1629 параграфа №2 главы №5 "Определённый интеграл" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать, что интеграл [math]\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx[/math] заключён между [math]\frac{2}{\sqrt[4]{e}}[/math] и [math]2e^2[/math].

Решение

Найдём наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции [math]f(x)=e^{x^2-x}[/math] на отрезке [math][0;2][/math]. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

[math]f'(x)=(2x-1)\cdot{e^{x^2-x}}[/math]

Так как [math]e^{x^2-x}\gt{0}[/math], то равенство [math]f'(x)=0[/math] возможно лишь при [math]2x-1=0[/math], т.е. [math]x=\frac{1}{2}[/math].

Значение [math]\frac{1}{2}[/math] принадлежит отрезку [math][0;10][/math]. Вычислим значения функции на концах отрезка интегрирования, а также в найденной стационарной точке:

[math]f(0)=1;\;f\left(\frac{1}{2}\right)=e^{-\frac{1}{4}};\;f(2)=e^2.[/math]

Наименьшее и наибольшее значения функции [math]f(x)[/math] на заданной отрезке будут такими:

[math]f_{\min}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}};\;f_{\max}=e^2.[/math]

Следовательно, для заданного интеграла получим:

[math]\frac{1}{\sqrt[4]{e}}\cdot(2-0)\le\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx\le{e^2\cdot(2-0)};\;\frac{2}{\sqrt[4]{e}}\le\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx\le{2e^2}.[/math]

Ответ

Утверждение доказано.