Задача №1232
Условие
Доказать, что интеграл \(\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx\) заключён между \(\frac{2}{\sqrt[4]{e}}\) и \(2e^2\).
Решение
Найдём наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции \(f(x)=e^{x^2-x}\) на отрезке \([0;2]\). Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси.
\[f'(x)=(2x-1)\cdot{e^{x^2-x}}\]
Так как \(e^{x^2-x}\gt{0}\), то равенство \(f'(x)=0\) возможно лишь при \(2x-1=0\), т.е. \(x=\frac{1}{2}\).
Значение \(\frac{1}{2}\) принадлежит отрезку \([0;10]\). Вычислим значения функции на концах отрезка интегрирования, а также в найденной стационарной точке:
\[f(0)=1;\;f\left(\frac{1}{2}\right)=e^{-\frac{1}{4}};\;f(2)=e^2.\]
Наименьшее и наибольшее значения функции \(f(x)\) на заданной отрезке будут такими:
\[f_{\min}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}};\;f_{\max}=e^2.\]
Следовательно, для заданного интеграла получим:
\[\frac{1}{\sqrt[4]{e}}\cdot(2-0)\le\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx\le{e^2\cdot(2-0)};\;\frac{2}{\sqrt[4]{e}}\le\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx\le{2e^2}.\]
Ответ:
Утверждение доказано.