Задача №1231
Условие
Непосредственным суммированием и последующим переходом к пределу вычислить интеграл \(\int\limits_{0}^{1}e^xdx\). Интервал интегрирования делить на \(n\) равных частей.
Решение
Отрезок \([0;1]\) делим на \(n\) равных частей точками \(\frac{1}{n}\), \(\frac{2}{n}\), \(\frac{3}{n}\) и так далее – до точки \(\frac{n}{n}=1\). На каждом отрезке \(\left[\frac{i-1}{n};\frac{i}{n}\right]\) выбираем точку \(\xi_i=\frac{i}{n}\). Длина каждого отрезка равна \(\Delta{x_i}=\frac{1}{n}\). В каждой точке \(\xi_i\) получим \(f(\xi_i)=e^{\frac{i}{n}}\).
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta{x_i}
=\frac{1}{n}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^i
=\frac{1}{n}\cdot\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(1-e)}{1-e^{\frac{1}{n}}}
\]
Переходя к пределу при \(n\to\infty\) получим:
\[
\int\limits_{0}^{1}e^xdx
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(1-e)}{1-e^{\frac{1}{n}}}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(e-1)}{\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}}
=\frac{1\cdot(e-1)}{1}
=e-1.
\]
Ответ:
\(e-1\)