1616-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1616 параграфа №1 главы №5 "Определённый интеграл" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Непосредственным суммированием и последующим переходом к пределу вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{1}e^xdx[/math]. Интервал интегрирования делить на [math]n[/math] равных частей.

Решение

Отрезок [math][0;1][/math] делим на [math]n[/math] равных частей точками [math]\frac{1}{n}[/math], [math]\frac{2}{n}[/math], [math]\frac{3}{n}[/math] и так далее – до точки [math]\frac{n}{n}=1[/math]. На каждом отрезке [math]\left[\frac{i-1}{n};\frac{i}{n}\right][/math] выбираем точку [math]\xi_i=\frac{i}{n}[/math]. Длина каждого отрезка равна [math]\Delta{x_i}=\frac{1}{n}[/math]. В каждой точке [math]\xi_i[/math] получим [math]f(\xi_i)=e^{\frac{i}{n}}[/math].

[math] \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta{x_i} =\frac{1}{n}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^i =\frac{1}{n}\cdot\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(1-e)}{1-e^{\frac{1}{n}}} [/math]

Переходя к пределу при [math]n\to\infty[/math] получим:

[math] \int\limits_{0}^{1}e^xdx =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(1-e)}{1-e^{\frac{1}{n}}}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(e-1)}{\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}} =\frac{1\cdot(e-1)}{1} =e-1. [/math]

Ответ

[math]e-1[/math]