159-05-3

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №159 параграфа №5 "Интегрирование разных функций" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}dx[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный интеграл:

[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}} =\left[x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right] =\int\frac{-dz}{z^2\cdot\left(\frac{1}{z^2}+1\right)\cdot\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}}=\\ =-\sgn{z}\int\frac{zdz}{\left(z^2+1\right)\sqrt{z^2+1}} =-\frac{\sgn{z}}{2}\int\left(z^2+1\right)^{-\frac{3}{2}}d\left(z^2+1\right) =\frac{\sgn{z}}{\sqrt{z^2+1}}+C =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C. [/dmath]

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int\frac{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}dx =\left[\begin{aligned} & u=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right);\;du=\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}.\\ & dv=\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}};\;v=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \end{aligned}\right]=\\ =\frac{x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}-\int\frac{xdx}{x^2+1} =\frac{x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C[/math]