1479-5
Информация о задаче
Задача №1479 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Построить график функции [math]y=\frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}[/math].
Решение
Область определения
Функция не определена, если знаменатель равен 0.
[dmath] x+1=0;\;x=-1. [/dmath]
Область определения: [math]D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/math].
Функция непрерывна на всей области определения. Так как [math]\lim_{x\to{-1}}y(x)=\infty[/math], то [math]x=1[/math] – точка разрыва второго рода, а прямая [math]x=1[/math] будет вертикальной асимптотой.
Точки пересечения графика с осями координат
Пересечение с осью Ox
[dmath]\frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}=0;\;x^2(x-1)=0;\;x_1=0;\;x_2=1.[/dmath]
Имеем две точки: [math](0;0)[/math] и [math](1;0)[/math].
Пересечение с осью Oy
Так как [math]y(0)=0[/math], то график функции пересекает ось ординат в точке [math](0;0)[/math].
Интервалы знакопостоянства
Так как [math]\frac{x^2}{(x+1)^2}\gt{0}[/math] при любом [math]x\neq{0}[/math], [math]x\neq{-1}[/math], то знак [math]y(x)[/math] при [math]x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)[/math] будет совпадать со знаком выражения [math]x-1[/math].
- При [math]x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)[/math] имеем [math]y(x)\lt{0}[/math];
- При [math]x\in(1;+\infty)[/math] имеем [math]y(x)\gt{0}[/math].
Проверка на чётность и нечётность
Так как область определения не симметрична относительно точки [math]x=0[/math], то заданная функция ни чётная ни нечётная.
Интервалы монотонности и экстремумы
[dmath] y'=\left(\frac{x^3-x^2}{(x+1)^2}\right)' =\frac{x\left(x^2+3x-2\right)}{(x+1)^3} [/dmath]
[dmath] x\left(x^2+3x-2\right)=0;\\ x_1=0;\;x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\;x_3=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}. [/dmath]
- На интервалах [math]\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2};-1\right)[/math] и [math]\left(0;\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)[/math] функция убывает;
- На интервалах [math]\left(-\infty; \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)[/math], [math](-1;0)[/math] и [math]\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2};+\infty\right)[/math] функция возрастает.
[math]x_{\max}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}[/math] – точка максимума; [math]y_{\max}\approx{-8{,}818}[/math].
[math]x_{\max}=0[/math] – точка максимума; [math]y_{\max}=0[/math].
[math]x_{\min}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}[/math] – точка минимума; [math]y_{\min}\approx{-0{,}057}[/math].
Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба
[dmath] y'' =\left(\frac{x^3+3x^2-2x}{(x+1)^3}\right)' =\frac{2(5x-1)}{(x+1)^4} [/dmath]
[dmath] 5x-1=0;\ x=\frac{1}{5}. [/dmath]
Так как [math](x+1)^4\gt{0}[/math] на всей области определения, то знак [math]y''[/math] будет совпадать с знаком выражения [math]5x-1[/math].
- При [math]x\in(-\infty;-1)[/math] и [math]x\in\left(-1;\frac{1}{5}\right)[/math] функция выпукла;
- При [math]x\in\left(\frac{1}{5};+\infty\right)[/math] функция вогнута.
[math]\left(\frac{1}{5};-\frac{1}{45}\right)[/math] – точка перегиба.
Асимптоты
Ранее было получено уравнение вертикальной асимптоты: [math]x=1[/math]. Уравнения наклонных асимптот ищем в виде [math]y=kx+b[/math].
[dmath] k =\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x(x-1)}{(x+1)^2} =1;\\ b =\lim_{x\to\infty}(y(x)-kx) =\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^2-x}{(x+1)^2} =-3. [/dmath]
Прямая [math]y=x-3[/math] будет наклонной асимптотой.
График функции
Ответ
График построен.
