Задача №2044

Условие

Построить график функции \(y=\frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}\).

Решение

Область определения

Функция не определена, если знаменатель равен 0.

\[ x+1=0;\;x=-1. \]

Область определения: \(D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\).

Функция непрерывна на всей области определения. Так как \(\lim_{x\to{-1}}y(x)=\infty\), то \(x=1\) – точка разрыва второго рода, а прямая \(x=1\) будет вертикальной асимптотой.

Точки пересечения графика с осями координат

Пересечение с осью Ox

\[\frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}=0;\;x^2(x-1)=0;\;x_1=0;\;x_2=1.\]

Имеем две точки: \((0;0)\) и \((1;0)\).

Пересечение с осью Oy

Так как \(y(0)=0\), то график функции пересекает ось ординат в точке \((0;0)\).

Интервалы знакопостоянства

Так как \(\frac{x^2}{(x+1)^2}\gt{0}\) при любом \(x\neq{0}\), \(x\neq{-1}\), то знак \(y(x)\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)\) будет совпадать со знаком выражения \(x-1\).

При \(x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\) имеем \(y(x)\lt{0}\);
При \(x\in(1;+\infty)\) имеем \(y(x)\gt{0}\).

Проверка на чётность и нечётность

Так как область определения не симметрична относительно точки \(x=0\), то заданная функция ни чётная ни нечётная.

Интервалы монотонности и экстремумы

\[ y'=\left(\frac{x^3-x^2}{(x+1)^2}\right)' =\frac{x\left(x^2+3x-2\right)}{(x+1)^3} \]

\[ x\left(x^2+3x-2\right)=0;\\ x_1=0;\;x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\;x_3=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}. \]

На интервалах \(\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2};-1\right)\) и \(\left(0;\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)\) функция убывает;
На интервалах \(\left(-\infty; \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)\), \((-1;0)\) и \(\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2};+\infty\right)\) функция возрастает.

\(x_{\max}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\) – точка максимума; \(y_{\max}\approx{-8{,}818}\).

\(x_{\max}=0\) – точка максимума; \(y_{\max}=0\).

\(x_{\min}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\) – точка минимума; \(y_{\min}\approx{-0{,}057}\).

Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба

\[ y'' =\left(\frac{x^3+3x^2-2x}{(x+1)^3}\right)' =\frac{2(5x-1)}{(x+1)^4} \]

\[ 5x-1=0;\ x=\frac{1}{5}. \]

Так как \((x+1)^4\gt{0}\) на всей области определения, то знак \(y''\) будет совпадать с знаком выражения \(5x-1\).

При \(x\in(-\infty;-1)\) и \(x\in\left(-1;\frac{1}{5}\right)\) функция выпукла;
При \(x\in\left(\frac{1}{5};+\infty\right)\) функция вогнута.

\(\left(\frac{1}{5};-\frac{1}{45}\right)\) – точка перегиба.

Асимптоты

Ранее было получено уравнение вертикальной асимптоты: \(x=1\). Уравнения наклонных асимптот ищем в виде \(y=kx+b\).

\[ k =\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x(x-1)}{(x+1)^2} =1;\\ b =\lim_{x\to\infty}(y(x)-kx) =\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^2-x}{(x+1)^2} =-3. \]

Прямая \(y=x-3\) будет наклонной асимптотой.

График функции

Ответ:

График построен.

Задачник №5	Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"
Раздел №2	Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Задача №1479