1382-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1382 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Написать разложение функции [math]y=\frac{x}{e^x-1}[/math] по целым неотрицательным степеням переменной [math]x[/math] до члена с [math]x^4[/math] включительно.

Решение

Первый способ

[math] \frac{x}{e^x-1} =a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right) [/math]

[math] x=\left(e^x-1\right)\cdot\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right)\right) =\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+o\left(x^5\right)\right)\cdot\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right)\right) [/math]

[math] 1=\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+o\left(x^4\right)\right)\cdot\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+o\left(x^4\right)\right) [/math]

[math] 1 =a_0+\left(\frac{a_0}{2}+a_1\right)x+\left(\frac{a_0}{6}+\frac{a_1}{2}+a_2\right)x^2+\left(\frac{a_0}{24}+\frac{a_1}{6}+\frac{a_2}{2}+a_3 \right)x^3+\left(\frac{a_0}{120}+\frac{a_1}{24}+\frac{a_2}{6}+\frac{a_3}{2}+a_4\right)x^4+o\left(x^4\right) [/math]


[dmath] \left\{\begin{aligned} &a_0=1;\\ &\frac{a_0}{2}+a_1=0;\\ & \frac{a_0}{6}+\frac{a_1}{2}+a_2=0;\\ & \frac{a_0}{24}+\frac{a_1}{6}+\frac{a_2}{2}+a_3 = 0;\\ & \frac{a_0}{120}+\frac{a_1}{24}+\frac{a_2}{6}+\frac{a_3}{2}+a_4=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

Решая данную систему, получим: [math]a_0=1[/math], [math]a_1=-\frac{1}{2}[/math], [math]a_2=\frac{1}{12}[/math], [math]a_3=0[/math], [math]a_4=-\frac{1}{720}[/math].

[dmath] \frac{x}{e^x-1} =1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+o\left(x^4\right) [/dmath]

Второй способ

Обозначим [math]u=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\left(o^4\right)[/math].

[math] \frac{x}{e^x-1} =\frac{1}{\frac{1}{x}\left(e^x-1\right)} =\frac{1}{\frac{1}{x}\cdot\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+o\left(x^5\right) \right)} =\frac{1}{1+u} =1-u+u^2-u^3+u^4+o\left(u^4\right) =1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+o\left(x^4\right) [/math]


Ответ

[math]1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+o\left(x^4\right)[/math]