1381-5
Информация о задаче
Задача №1381 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Написать разложение функции [math]y=e^{2x-x^2}[/math] по целым неотрицательным степеням переменной [math]x[/math] до члена с [math]x^5[/math] включительно.
Решение
[dmath] y =e^{2x-x^2} =1+2x-x^2+\frac{\left(2x-x^2\right)^2}{2!}+\frac{\left(2x-x^2\right)^3}{3!}+\frac{\left(2x-x^2\right)^4}{4!}+\frac{\left(2x-x^2\right)^5}{5!}+o\left(\left(2x-x^2\right)^5\right)=\\ =1+2x-x^2+\frac{4x^2-4x^3+x^4}{2}+\frac{8x^3-12x^4+6x^5}{6}+\frac{16x^4-32x^5}{24}+\frac{32x^5}{120}+o\left(x^5\right) =1+2x+x^2-\frac{2}{3}x^3-\frac{5}{6}x^4-\frac{1}{15}x^5+o\left(x^5\right) [/dmath]
Ответ
[math]1+2x+x^2-\frac{2}{3}x^3-\frac{5}{6}x^4-\frac{1}{15}x^5+o\left(x^5\right)[/math]
