1369-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1369 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\cdot\frac{\ln\left(e^x+x\right)}{x}\right)[/math].

Решение

Для сокращения записей обозначим [math]u(x)=\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}[/math], [math]v(x)=\sqrt{x^2+x+1}[/math], [math]t(x)=\frac{\ln\left(e^x+x\right)}{x}[/math].

Рассмотрим несколько вспомогательных пределов:

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to+\infty}\frac{x'}{\left(e^x\right)'} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^x} =0. [/math]

[math] \lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln\left(x+e^x\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{e^x}{x+e^x} =\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{1}{\frac{x}{e^x}+1} =\ln{1} =0. [/math]

[math] \lim_{x\to+\infty}t(x) =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^x\left(\frac{x}{e^x}+1\right)\right)}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\ln\left(\frac{x}{e^x}+1\right)}{x} =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\ln\left(\frac{x}{e^x}+1\right)}{x}\right) =1. [/math]


[math] \lim_{x\to+\infty}\left(u\cdot(1-t)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}\cdot\left(1-\frac{\ln\left(e^x+x\right)}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\cdot\left(x-\ln\left(e^x+x\right)\right)\right) =1\cdot{0}=0. [/math]

[math] \lim_{x\to+\infty}(u-v) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right) =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x}}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'} =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^2}}\cdot\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)-\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}\cdot\left(1+\frac{2}{x}\right) \right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{6}. [/math]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to+\infty}(u-vt) =\lim_{x\to+\infty}(u-ut+ut-vt) =\lim_{x\to+\infty}(u(1-t)+t(u-v)) =0+1\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) =-\frac{1}{6}. [/math]

Ответ

[math]-\frac{1}{6}[/math]