1368-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1368 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

  1. Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cth{x}}[/math].
  2. Найти предел [math]\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\ln{x}}}{(\ln{x})^x}[/math].

Решение

Пункт №1

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to{0}}\left(\cth{x}\ln\frac{1+e^x}{2}\right) =\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\frac{1+e^x}{2}}{\th{x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\ln\frac{1+e^x}{2}\right)'}{(\th{x})'} =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{e^x}{e^x+1}}{\frac{1}{\ch^2{x}}} =\frac{1}{2}. [/math]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cth{x}} =\lim_{x\to{0}}e^{\cth{x}\ln\frac{1+e^x}{2}} =e^{\frac{1}{2}} =\sqrt{e}. [/math]

Пункт №2

[math] \frac{x^{\ln{x}}}{(\ln{x})^x} =\frac{e^{\ln^2{x}}}{e^{x\ln\ln{x}}} =e^{\ln^2{x}-x\ln\ln{x}} [/math]

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2{x}}{x} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\ln^2{x}\right)'}{(x)'} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln{x}}{x} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(2\ln{x}\right)'}{(x)'} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x} =0. [/math]

Так как при [math]x\to+\infty[/math] имеем [math]\ln\ln{x}\to+\infty[/math], то получим:

[math] \lim_{x\to+\infty}\left(\ln^2{x}-x\ln\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\left(\frac{\ln^2{x}}{x}-\ln\ln{x}\right)\right) =-\infty. [/math]

Следовательно, [math]\lim_{x\to+\infty}e^{e^{\ln^2{x}-x\ln\ln{x}}}=0[/math].

Ответ

  1. [math]\sqrt{e}[/math]
  2. 0