1365-1
Информация о задаче
Задача №1365 параграфа №4 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Проверить, что [math]\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}}[/math] существует, но не может быть вычислен по правилу Лопиталя.
Решение
В данном пределе мы имеем дело с неопределённостью [math]\frac{\infty}{\infty}[/math]. Сперва покажем, что предел существует. Разделив числитель и знаменатель на [math]x[/math], будем иметь:
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x}\cdot\sin{x}}{1+\frac{1}{x}\cdot\sin{x}} [/dmath]
Так как функция [math]\sin{x}[/math] является ограниченной, а функция [math]\frac{1}{x}[/math] – бесконечно малой при [math]x\to\infty[/math], то [math]\frac{1}{x}\cdot\sin{x}\to{0}[/math].
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x}\cdot\sin{x}}{1+\frac{1}{x}\cdot\sin{x}} =\frac{1-0}{1+0} =1. [/dmath]
Теперь попробуем применить правило Лопиталя:
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}} [/dmath]
Обозначим для сокращения записи [math]f(x)=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}[/math]. Рассматривая последовательности [math]a_n=2\pi{n}[/math] и [math]b_n=\frac{\pi}{2}+\pi{n}[/math] при условии [math]n\to\infty[/math], будем иметь:
[dmath] \begin{aligned} & \lim_{n\to\infty}f\left(a_n\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\left(2\pi{n}\right)}{1+\cos\left(2\pi{n}\right)} =0.\\ & \lim_{n\to\infty}f\left(b_n\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right)}{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right)} =1. \end{aligned} [/dmath]
Так как [math]\lim_{n\to\infty}f\left(a_n\right)\neq\lim_{n\to\infty}f\left(b_n\right)[/math], то [math]\lim_{x\to\infty}f(x)[/math] не существует, т.е. исходный предел не может быть вычислен по правилу Лопиталя.
Ответ
Задача решена.
