Задача №1228
Проверить, что \(\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}}\) существует, но не может быть вычислен по правилу Лопиталя.
В данном пределе мы имеем дело с неопределённостью \(\frac{\infty}{\infty}\). Сперва покажем, что предел существует. Разделив числитель и знаменатель на \(x\), будем иметь:
Так как функция \(\sin{x}\) является ограниченной, а функция \(\frac{1}{x}\) – бесконечно малой при \(x\to\infty\), то \(\frac{1}{x}\cdot\sin{x}\to{0}\).
Теперь попробуем применить правило Лопиталя:
Обозначим для сокращения записи \(f(x)=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\). Рассматривая последовательности \(a_n=2\pi{n}\) и \(b_n=\frac{\pi}{2}+\pi{n}\) при условии \(n\to\infty\), будем иметь:
Так как \(\lim_{n\to\infty}f\left(a_n\right)\neq\lim_{n\to\infty}f\left(b_n\right)\), то \(\lim_{x\to\infty}f(x)\) не существует, т.е. исходный предел не может быть вычислен по правилу Лопиталя.
Задача решена.