1354-5
Информация о задаче
Задача №1345 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right) =\lim_{x\to{0}}\frac{e^x-1-x}{xe^x-x} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(e^x-1-x\right)'}{\left(xe^x-x\right)'}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1} =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{e^x-1}{x}+e^x} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}. [/dmath]
В принципе, можно было применить ещё раз правило Лопиталя:
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{e^x}{2e^x+xe^x} =\lim_{x\to{0}}\frac{1}{2+x} =\frac{1}{2}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{2}[/math]
