1347-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1347 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{1}}(2-x)^{\tg\frac{\pi{x}}{2}}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to{1}}\left(\tg\frac{\pi{x}}{2}\cdot\ln(2-x)\right) =\lim_{x\to{1}}\frac{\ln(2-x)}{\ctg\frac{\pi{x}}{2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{1}}\frac{(\ln(2-x))'}{\left(\ctg\frac{\pi{x}}{2}\right)'} =\lim_{x\to{1}}\frac{\frac{1}{x-2}}{-\frac{1}{\sin^2\frac{\pi{x}}{x}}\cdot\frac{\pi}{2}} =\frac{2}{\pi}. [/math]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{1}}(2-x)^{\tg\frac{\pi{x}}{2}} \lim_{x\to{1}}e^{\tg\frac{\pi{x}}{2}\cdot\ln(2-x)} =e^{\frac{2}{\pi}}. [/math]


Ответ

[math]e^{\frac{2}{\pi}}[/math]