1346-5

Информация о задаче

Задача №1346 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{1}}x^{\frac{1}{1-x}}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{\ln{x}}{1-x} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\ln{x}\right)'}{(1-x)'} =\lim_{x\to{1}}\left(-\frac{1}{x}\right) =-1. [/math]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{1}}x^{\frac{1}{1-x}} =\lim_{x\to{1}}e^{\frac{\ln{x}}{1-x}} =e^{-1} =\frac{1}{e}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{e}[/math]