Задача №2036
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{1}}x^{\frac{1}{1-x}}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\ln{x}}{1-x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\ln{x}\right)'}{(1-x)'}
=\lim_{x\to{1}}\left(-\frac{1}{x}\right)
=-1.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{1}}x^{\frac{1}{1-x}}
=\lim_{x\to{1}}e^{\frac{\ln{x}}{1-x}}
=e^{-1}
=\frac{1}{e}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{e}\)