1343-5
Информация о задаче
Задача №1343 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}x^{x^x-1}[/math].
Решение
Рассмотрим вспомогательные пределы:
[dmath] \lim_{x\to{0}}x\ln{x} =\lim_{x\to{0}}\frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{(\ln{x})'}{\left(\frac{1}{x}\right)'} =\lim_{x\to{0}}(-x) =0. [/dmath]
[dmath] \lim_{x\to{0}}x\ln^2{x} =\lim_{x\to{0}}\frac{\ln^2{x}}{\frac{1}{x}} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\ln^2{x}\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'} =\lim_{x\to{0}}(-2x\ln{x}) =0. [/dmath]
[dmath] \lim_{x\to{0}}\left(\left(x^x-1\right)\ln{x}\right) =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{e^{x\ln{x}}-1}{x\ln{x}}\cdot{x\ln^2{x}}\right) =1\cdot{0} =0. [/dmath]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
[dmath] \lim_{x\to{0}}x^{x^x-1} =\lim_{x\to{0}}e^{\left(x^x-1\right)\ln{x}} =e^0 =1. [/dmath]
Ответ
1
