Задача №2035
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}x^{x^x-1}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательные пределы:
\[
\lim_{x\to{0}}x\ln{x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{(\ln{x})'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}
=\lim_{x\to{0}}(-x)
=0.
\]
\[
\lim_{x\to{0}}x\ln^2{x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\ln^2{x}}{\frac{1}{x}}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\ln^2{x}\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}
=\lim_{x\to{0}}(-2x\ln{x})
=0.
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\left(x^x-1\right)\ln{x}\right)
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{e^{x\ln{x}}-1}{x\ln{x}}\cdot{x\ln^2{x}}\right)
=1\cdot{0}
=0.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}x^{x^x-1}
=\lim_{x\to{0}}e^{\left(x^x-1\right)\ln{x}}
=e^0
=1.
\]
Ответ:
1