1329-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1329 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{a^x-a^{\sin{x}}}{x^3}[/math], [math]a\gt{0}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{x-\sin{x}}{x^3} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{(x-\sin{x})'}{\left(x^3\right)'} =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{3x^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})'}{\left(3x^2\right)'} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}}{6x} =\frac{1}{6}. [/math]


Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{a^x-a^{\sin{x}}}{x^3} =\lim_{x\to{0}}\left(a^{\sin{x}}\cdot\frac{a^{x-\sin{x}}-1}{x-\sin{x}}\cdot\frac{x-\sin{x}}{x^3}\right) =1\cdot\ln{a}\cdot\frac{1}{6} =\frac{\ln{a}}{6}. [/math]


Ответ

[math]\frac{\ln{a}}{6}[/math]