Задача №2033
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{a^x-a^{\sin{x}}}{x^3}\), \(a\gt{0}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{x-\sin{x}}{x^3}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{(x-\sin{x})'}{\left(x^3\right)'}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{3x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})'}{\left(3x^2\right)'}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}}{6x}
=\frac{1}{6}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{a^x-a^{\sin{x}}}{x^3}
=\lim_{x\to{0}}\left(a^{\sin{x}}\cdot\frac{a^{x-\sin{x}}-1}{x-\sin{x}}\cdot\frac{x-\sin{x}}{x^3}\right)
=1\cdot\ln{a}\cdot\frac{1}{6}
=\frac{\ln{a}}{6}.
\]
Ответ:
\(\frac{\ln{a}}{6}\)