1326-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1326 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x^2}}{x^2\sin{x^2}}[/math].

Решение

Можно сделать замену [math]t=x^2[/math]:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x^2}}{x^2\sin{x^2}} =\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{t}}{t\sin{t}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{\left(1-\cos{t}\right)'}{\left(t\sin{t}\right)'} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}}{\sin{t}+t\cos{t}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{(\sin{t})'}{(\sin{t}+t\cos{t})'} =\lim_{t\to{0}}\frac{\cos{t}}{2\cos{t}-\sin{t}} =\frac{1}{2}. [/math]

Можно было и не делать замену:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x^2}}{x^2\sin{x^2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x^2}\right)'}{\left(x^2\sin{x^2}\right)'} =\lim_{x\to{0}}\frac{2x\sin{x^2}}{2x\sin{x^2}+2x^3\cos{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{x^2}}{x^2}}{\frac{\sin{x^2}}{x^2}+\cos{x^2}} =\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{2}[/math]