Задача №1937
Условие
Найти интеграл \(\int{x^3}\sin{x^2}dx\).
Решение
\[
\int{x^3}\sin{x^2}dx
=\frac{1}{2}\cdot\int{x^2}\sin{x^2}d\left(x^2\right)
=\left[t=x^2\right]
=\frac{1}{2}\cdot\int{t}\sin{t}dt
=\left[\begin{aligned}
& u=t;\;du=dt.\\
& dv=\sin{t}dt;\;v=-\cos{t}.
\end{aligned}\right]=\\
=\frac{1}{2}\cdot\left(-t\cos{t}+\int\cos{t}dt\right)+C
=-\frac{t\cos{t}}{2}+\frac{\sin{t}}{2}+C
=-\frac{x^2\cos{x^2}}{2}+\frac{\sin{x^2}}{2}+C
\]
Ответ:
\(-\frac{x^2\cos{x^2}}{2}+\frac{\sin{x^2}}{2}+C\)