1281-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1281 параграфа №3 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что график функции [math]y=x\arctg{x}[/math] везде вогнутый.

Решение

Данная функция определена при [math]x\in{R}[/math].

[math] y'=\arctg{x}+\frac{x}{1+x^2};\\ y''=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1+x^2-x\cdot{2x}}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{2}{\left(1+x^2\right)^2}. [/math]

Так как [math]y''\gt{0}[/math] при всех [math]x\in{R}[/math], то график функции вогнутый на всей области определения.

Ответ

Утверждение доказано.