Задача №1221

Условие

Найти экстремумы функции \(y=x^{\frac{1}{x}}\), пользуясь второй производной.

Решение

Заданная функция определена и непрерывна при \(x\gt{0}\).

Логарифмируя обе части равенства \(y=x^{\frac{1}{x}}\) и дифференцируя, получим:

\[ \ln{y} =\frac{1}{x}\ln{x};\\ \left(\ln{y}\right)' =\left(\frac{1}{x}\ln{x}\right)';\\ \frac{1}{y}\cdot{y'} =-\frac{1}{x^2}\ln{x}+\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} =-x^{-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right);\\ y'=y\cdot\left(-x^{-2}\right)\cdot\left(\ln{x}-1\right) =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right). \]

Точек, принадлежащих области определения, в которых \(y'\) не существует, нет. Если же \(y'=0\), то \(x=e\). Итак, имеем одну стационарную точку: \(x=e\).

Для отыскания \(y''\) нам придётся находить производную функции \(x^{\frac{1}{x}-2}\). Чтобы не загромождать записи, сделаем это отдельно. Можно применить метод логарифмического дифференцирования, использованный выше, однако сугубо для разнообразия пойдём иным путём:

\[ \left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)' =\left(e^{\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}}\right)' =e^{\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}}\cdot\left(\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}\right)'=\\ =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\ln{x}+\left(\frac{1}{x}-2\right)\cdot\frac{1}{x}\right) =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(-\frac{\ln{x}}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right). \]

Теперь обратимся к \(y''\):

\[ y''=\left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)'\cdot\left(\ln{x}-1\right)+x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right)' =x^{\frac{1}{x}-4}\cdot\left(\ln^2{x}-2\ln{x}-3x+2x\ln{x}+1\right) \]

Так как \(y''(e)=-e^{\frac{1}{e}-3}\lt{0}\), то \(x=e\) – точка максимума. Максимум будет таким:

\[ y_{\max}=y(e)=e^{\frac{1}{e}}. \]

Ответ:

Точка максимума: \(x=e\).
Максимум: \(y_{\max}=e^{\frac{1}{e}}\).

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №4	Исследование функций и их графиков
Параграф №3	Применение второй производной
Задача №1275