1275-1
Информация о задаче
Задача №1275 параграфа №3 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти экстремумы функции [math]y=x^{\frac{1}{x}}[/math], пользуясь второй производной.
Решение
Заданная функция определена и непрерывна при [math]x\gt{0}[/math].
Логарифмируя обе части равенства [math]y=x^{\frac{1}{x}}[/math] и дифференцируя, получим:
[dmath] \ln{y} =\frac{1}{x}\ln{x};\\ \left(\ln{y}\right)' =\left(\frac{1}{x}\ln{x}\right)';\\ \frac{1}{y}\cdot{y'} =-\frac{1}{x^2}\ln{x}+\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} =-x^{-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right);\\ y'=y\cdot\left(-x^{-2}\right)\cdot\left(\ln{x}-1\right) =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right). [/dmath]
Точек, принадлежащих области определения, в которых [math]y'[/math] не существует, нет. Если же [math]y'=0[/math], то [math]x=e[/math]. Итак, имеем одну стационарную точку: [math]x=e[/math].
Для отыскания [math]y''[/math] нам придётся находить производную функции [math]x^{\frac{1}{x}-2}[/math]. Чтобы не загромождать записи, сделаем это отдельно. Можно применить метод логарифмического дифференцирования, использованный выше, однако сугубо для разнообразия пойдём иным путём:
[dmath] \left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)' =\left(e^{\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}}\right)' =e^{\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}}\cdot\left(\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}\right)'=\\ =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\ln{x}+\left(\frac{1}{x}-2\right)\cdot\frac{1}{x}\right) =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(-\frac{\ln{x}}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right). [/dmath]
Теперь обратимся к [math]y''[/math]:
[dmath] y''=\left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)'\cdot\left(\ln{x}-1\right)+x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right)' =x^{\frac{1}{x}-4}\cdot\left(\ln^2{x}-2\ln{x}-3x+2x\ln{x}+1\right) [/dmath]
Так как [math]y''(e)=-e^{\frac{1}{e}-3}\lt{0}[/math], то [math]x=e[/math] – точка максимума. Максимум будет таким:
[dmath] y_{\max}=y(e)=e^{\frac{1}{e}}. [/dmath]
Ответ
Точка максимума: [math]x=e[/math].
Максимум: [math]y_{\max}=e^{\frac{1}{e}}[/math].
