1273-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1273 параграфа №3 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти экстремумы функции [math]y=x^2 e^{-x}[/math], пользуясь второй производной.

Решение

Область определения данной функции: [math]D(y)=(\infty;+\infty)[/math].

[math]y'=2xe^{-x}+x^2\cdot\left(-e^{-x}\right)=\left(2x-x^2\right)e^{-x}[/math]

Так как [math]e^{-x}\gt{0}[/math] при всех [math]x\in{D(y)}[/math], то равенство [math]y'=0[/math] возможно лишь при условии [math]2x-x^2=0[/math].

[math]2x-x^2=0;\;x\cdot(2-x)=0;\;x_1=0;\;x_2=2.[/math]

Обе найденные стационарные точки принадлежат области определения. Вычислим [math]y' '[/math]:

[math]y' '=(2-2x)e^{-x}+(2x-x^2)\cdot(-e^{-x})=\left(x^2-4x+2\right)e^{-x}[/math]

Так как [math]y' '(0)=2\gt{0}[/math], то [math]x=0[/math] - точка минимума. Так как [math]y' '(0)=-\frac{2}{e^2}\lt{0}[/math], то [math]x=2[/math] - точка максимума.

[math] \begin{aligned} &y_{\min}=y(0)=0;\\ &y_{\max}=y(2)=\frac{4}{e^2}. \end{aligned} [/math]

Ответ

[math]y_{\min}=0[/math], [math]y_{\max}=\frac{4}{e^2}[/math].